Analyse 1: convergence et dualié

Diagrama de temas

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  General

  Le nouveau nom de ce cours est Espaces Lp, analyse de Fourier et distributions

  Les responsables du cours sont Philippe Jaming et Jasmin Raissy. Le responsable des TD est Laurent Michel.
  

  Le DSI se tiendra lundi 24 octobre 2022 de 14h à 16h en salle 285 bâtiment A33.
  

  Les démonstrations suivantes sont  à connaître impérativement pour le DSI du 24 octobre 2022 :
  

  • inégalité de Jensen+application à Hölder
  • complétude de L^p
  • L^p*L^{p'}->C_0
  • approximation de l'unité
    

  • Annonces Foro
  • TD0: espaces de Banach Archivo
  • TD1: intégration Archivo
  • TD2: espaces Lp Archivo
  • TD3 - Convolution Archivo
  • TD4-Transformée de Fourier Archivo
  • Devoir supplémentaire Archivo

    Ce devoir compte dans le contrôle continu (de façon facultative) et doit être rendu en TD au plus tard le vendredi 3 décembre.
    

    Chaque exercice doit être rendu sur une feuille séparée (un exercice par correcteur)

    
    

  • TD5-Distributions Archivo
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  Prérequis topologiques

  • Chapitre 1: Rappels topologiques Archivo

    1. Espaces de Banach
    2. Espaces de Hilbert
    3. Espaces de Fonctions continues
    4. Opérateurs linéaires bornés
    5. Compléments sur la convergence
       
  • Vidéo 1: Espaces de Banach URL
  • Vidéo 2: Espaces de Hilbert URL
  • Vidéo 3: C(K), convergence simple et uniforme URL
  • Vidéo 4: opérateurs bornés URL
  • Vidéo 5: Espace dual URL
  • Vidéo 6: compléments URL
  • Tableaux des vidéos de la première section Archivo

    Attention: des problèmes techniques font que le son des vidéos n'est pas toujours très bon et parfois pas tout à fait synchronisé (doublage

    Les photos des tableaux ne sont pas 100% identiques à ceux de la vidéo (ils peuvent provenir d'essais)
    

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  Prérequis d'intégration

  • Notes de Cours Archivo

    1. Intégration de Riemann
    2. Intégration de Lebesgue
    3. Théorème de Fubini
    4. Convergence dominée
    5. Continuité et dérivabilité des intégrales
       
  • Vidéo 1: Intégration de Riemann URL
  • Vidéo 2: Intégration de Lebesgue URL
  • Vidéo 3: Théorème de Fubini URL
  • Vidéo 4: convergence monotone et dominée URL
  • Photos des tableaux extraits des vidéos de la section 2 Archivo
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  Espace L^p

  • Notes de Cours Archivo

    1.  Définition
    2. Inégalités de Hölder et de Minkovski
    3. Complétude des espaces L^p
    4. Séparabilité
    5. Continuité des translations
       
    6. Théorème de projection
    7. Dualité
  • Vidéo 1: définitions URL
  • Vidéo 2: Inegalité de Hölder URL
  • Vidéo 3: Inégalité de Minkowski URL
  • Vidéo 4: Complétude de L^p URL
  • Vidéo 5: Séparabilité de L^p URL
  • Tableaus issus des Vidéos (première partie) Archivo
  • Vidéo 6: continuité des translations URL
  • Vidéo 7: théorème de projection dans L^p URL
  • Vidéo 8: dualité de L^p (avec théorème de projection) URL
  • Vidéo 9: dualité de L^p (avec Riesz) URL
  • Tableaus issus des Vidéos (deuxième partie) Archivo
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  Convolution

  • Notes de cours sur la convolution Archivo

    1. Un peu de motivation
       
    2. Notation multi-indice
    3. Le convolution des fonctions continues à support compact (rappel de licence)
       
    4. Convolution entre L^p et son dual
    5. Convolution entre L^1 et lui-même
    6. Principe d'extension et cas L^1*L^p
       
    7. Inégalité de Young
    8. Régularisation
    1. Espaces de fonctions régulières (la classe de Schwarz)
    2. Régularisation par convolution
       

    
    
  • Vidéo 1: un peu de motivation URL
  • Vidéo 2: Convolution de L^p et son dual URL
  • Images des tableaux Archivo
  • Vidéo 3: Convolution L^1*L^1, théorème de prolongement URL
  • Vidéo 4: théorème de prolongement (suite) Convolution L^1*L^p, URL
  • Video 5: espaces de fonctions régulières (classe de Schwarz) URL
  • Vidéo 6: Régularisation, approximation de l'unité URL
  • Vidéo 7: Inégalité de Young URL
  • Tableaux (toutes les images: MAJ 12/10) Archivo
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  Transformée de Fourier

  • Notes de cours sur la transformée de Fourier Archivo

    Chapitre 5: Transformée de Fourier

    1. Théorie L^1
    2. Inversion de Fourier et transformée de Fourier sur la classe de Schwarz
    3. Théorie L^2
    1. Plancherel
    2. Non surjectivité de Fourier L^1->C_0
    3. Fourier sur L^p
       
    4. Application à l'équation de la chaleur
       

    
    
  • Vidéo 1: heuristique URL
  • Vidéo 2: Transformée de Fourier sur L^1 URL
  • Vidéo 3: théorème d'inversion de Fourier URL
  • Vidéo 4: Transformée de Fourier sur la classe de Schwarz URL
  • Vidéo 5: Transformée de Fourier sur L^2 (Plancherel-Parseval) URL
  • Vidéo 6: Transformée de Fourier d'une fraction rationnelle URL
  • Vidéo 7: La transformée de Fourier n'est pas surjective L^1\to C_0 URL
  • Vidéo 8: résolution de l'équation de la chaleur URL
  • Tableaux des cours sur l'analyse de Fourier Archivo
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  Distribution (théorie et pratique)

  • Notes de cours sur les distributions (19/11) Archivo

    1. Définition et exemples

    2. Convergence de suites de distributions

    3. Opérations sur les distributions

    1. Translation, dilatation, multiplication par une fonction régulière

    2. Différentiation

    3. Application aux équations de transport

    4. Primitive d'une distribution

    5. Transformée de Fourier

    4. Support

    1. Définition du support

    2. Distributions à support compact

    5. Dérivation et intégration dans le crochet de dualité
    1. Dérivation
    2. Intégration

    6. Convolution

    1. Convolution d'une distribution avec une fonction

    2. Produit et produit de convolution de deux distributions

    7. Une autre application des distributions aux EDPs

    1. Solution fondamentale

       
       

    2. Solution fondamentale du laplacien

       19/11: Quelques coquilles corrigées
       
  • Vidéo 1: Introduction à la théorie des distributions URL
  • Vidéo 2: Distributions, définitions et premiers exemples URL
  • Vidéo 3: Exemples URL
  • Vidéo 4: opérations élémentaires sur les distributions URL
  • Vidéo 5: Dérivation des distributions URL
  • Tableaux des vidéos 1 à 5 Archivo
  • Vidéo 6: dérivation des distributoins (compléments) URL
  • Vidéo 7: Transformée de Fourier des distributions tempérées URL
  • Vidéo 8: le support URL
  • Vidéo 9: convolution d'une distribution avec une fonction, régularisation URL
  • Tableaux des vidéos 6 à 9 Archivo
  • Vidéo 10: convolution de deux distributions URL
  • Vidéo 11: Un exemple complet, la valeur principale (définition, ordre, primitive, dérivée, Fourier) URL
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  Application des distributions aux EDP

  • Les notes de ce cours sont incluses dans la section sur les distributions
    

  • Vidéo 1: l'équation de transport URL
  • Vidéo 2: Solution fondamentale URL
  • Vidéo 3: solution fondamentale du laplacien URL