Topic outline

  • General

    • Notes de cours (2 pages par feuille) File

      Cette version réduite correspond au cours effectivement fait au second semestre 2021.

      Ces notes sont le seul document autorisé à l'examen

    • Position de ce cours dans la formation en vue de la préparation à l'agrégation:

      Les points suivants seront abordés

      * la compacité: en partie, nous reviendrons sur cette notion clé abordée dans le cours de topologie de L3. On ira (un peu) plus loin avec 2 critères de compacité dans des espaces de Banach de dimension infinie (Ascoli qui est au programme de l'agrégation et Kolmogorov qui ne l'est pas mais qu'on peut en général contourner avec Ascoli). Ces critères sont utilisés en théorie spectrale.
      * La densité: on verra le théorème de Stone Weierstrass, donc on montrera la densité des polynômes dans l'espace des fonctions continues, un point central de l'analyse et qui figure au programme de l'agreg (on verra aussi la démonstration classique de Bernstein en TD)
      * l'analyse fonctionnelle proprement dite: le théorème de Baire et ses corollaires dont le théorème de Banach-Steinhaus. Tout ceci a été au programme de l'agrégation et a été remplacé récemment par la théorie des distributions. Toutefois, tout ce qui est enseigné ici peut être utilisé dans des leçons (et pourrait en théorie faire l'objet d'une partie de problème de l'agreg, même si cela est peu probable).
      * Le domaine d'application essentiel sera les séries de Fourier: mon expérience est que ce sujet n'est pas bien traité en licence car traité de façon éparse dans divers modules et donc en général non maîtrisé. C'est pourtant un chapitre important du programme de l'agrégation ce qui fait que cela est repris en prépa agreg
      * on parlera aussi un peu de polynômes orthogonaux. Là encore, ce n'est pas explicitement au programme de l'agreg mais se retrouve facilement dans des leçons car c'est une thématique transverses et les bases ne sont pas trop difficiles.
      * la théorie spectrale: ce sera d'abord l'occasion de rappeler un peu de diagonalisation et de théorie des opérateur en insistant sur ce qui devient faux en dimension infini (donc une révision express de l'algèbre linéaire) puis on introduira les opérateurs compacts et de Hilbert Schmidt, l'adjoint (vu en L3)
      et la diagonalisation des opérateurs auto-adjoints. Là aussi, les séries de Fourier nous seront utiles.

      Donc rien n'est indispensable à l'agreg (ou sera revu en M2), mais tout est utilisable et en plus, tout ce qu'on fait est l'occasion de revoir des notions qui sont explicitement à l'agreg et sur lesquelles trop d'étudiants montrent des faiblesses qu'il faut corriger avant de passer le concours.

    • DS d'Analyse Spectrale Assignment

      -DS d'Analyse Spectrale 15 mars de 9h30-11h
      -Déposer la copie sous la forme nom_prenom.pdf sur moodle
      -Si vous avez un problème de dépôt, vous pouvez m'envoyer  votre copie par mail à  karim.kellay@u-bordeaux.fr

    • DS d'Analyse Fonctionnelle Assignment

      DS d'Analyse Fonctionnelle 16 mars de 8h-10h30
      -Déposer la copie sous la forme nom_prenom.pdf sur moodle
      -Si vous avez un problème de dépôt, vous pouvez m'envoyer  votre copie par mail à  karim.kellay@u-bordeaux.fr

  • Rendez-Vous zoom

  • Avancement du cours

    • Semaine du 1/02 au 8/02: Chapitre 1.2 et 1.3

      1. La fin du chapitre topologique: théorème de l'application ouverte et du graphe fermé
      2. Début du chapitre sur la densité
      a. une des 2 démonstrations directes de la section 3.1.1
      (à l'aide de la convolution ou la suivante ou les 2, elles n'utilisent que de
      l'analyse niveau L3 voire L2)
      b la version avec le théorème de Bernstein: théorème 3.2
      Là encore, la démonstration n'utilise que des outils niveau L2
      Il y a une seconde démonstration avec l'interprétation probabiliste des polynômes de Bernstein. Elle est à mon avis un peu plus compliquée, mais
      vous pouvez par goût pour les probabilités préférer celle-ci. Dans tous les cas, il est bon de lire les 2 et il faut être en mesure d'en comprendre l'une des deux.

      Le reste de la section 3.1.2 est plus évolué. Il est bon de savoir ce qu'est le module de continuité et le lemme 3.5 peut être fait en exercice (c'est un exercice un peu difficile en L1, mais qui devrait maintenant être à votre portée)

      Le reste de la section n'est pas indispensable et dépend de vos ambitions
      (recherche, bon classement à l'agreg) et du temps que vous pouvez encore consacrer à ce module cette semaine:
      Le théorème 3.6 n'est pas très difficile mais après cela devient plus subtile.
      L'inégalité de Khintchine est un résultat de probabilités abordable en M1 (on le retrouve parfois dans des développements de leçons d'agreg) et elle permet de montrer que le théorème 3.6 est optimal.

      La section 3.1.3: Stone Weierstrass sera vue la semaine prochaine.

    • Code couleur: en brun, des parties plus difficiles qui peuvent être omises, au moins en première lecture. En bleue: quelques démonstrations assez simples qu'il faut essayer de faire sous forme d'exercice

    • Semaine du 11/01 au 17/01: lecture du chapitre 1.1 "compacité"

    • Semaine du 18 au 24/01: chap 1.2 les critères de compacité d'Arzela-Ascoli, Fréchet (avec démo) et Kolmogorov (sans démo)

    • Semaine du 25 au 31 janvier:

      Analyse spectrale: les 2 applications de la compacité (Dini et Banach Alaoglu) de la section 1.3

      Analyse fonctionnelle: idem + début de la section 2 sur Baire: théorème de Baire jusqu'à Banach-Steinhaus (démo inclus)


  • Forum du module

  • Notes de Cours en français (par chapitre)

  • English notes

  • Notes de cours complètes

    • Notes de cours en Français File

      La répartition entre les 2 modules est la suivante:

      Analyse Fonctionnelle

      1. Topologie en dimension infinie
        1. Compacité (tous les résultats et leurs démonstrations)
        2. Au tour du théorème de Baire
        3. Densité (2019-2020: Stone-Weierstrass, densité dans L2(w)/ Bernstein ne sera pas traité)
      2. Analyse de Fourier
        1. Rappel de base sur les s\'eries de Fourier
        2. Convergence et divergence
        3. Applications. (2019-2020: seul Lax-Milgramm et Sturm-Liouville)

      Analyse Spectrale

      1. Topologie en dimension infinie

        1. Compacité (seule la définition séquentielle et les critéres d'Ascoli, Fréchet et Kolmogorov)

      2. Analyse spectrale

        1. Opérateurs borné et critère de Schur
        2. Adjoint d'un opérateur (sous forme de TD)
        3. Opérateurs compacts
        4. Opérateurs de Hilbert-Schmidt (sous forme de TD)
        5. Théorie spectrale
      Bibliographie
      • W. Rudin Real and Complex Analysis
      • W. Rudin Functional Analysis
      • Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis
      • F. Hirsch et G. Lacombe Éléments d'analyse fonctionnelle
      • H. Queffelec, J. Charles et M. Mbekhta Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs: Rappels de cours et exercices corrigés
      • H. Brezis Analyse fonctionnelle - Théorie et applications: Théorie et applications

  • TD en visio Zoom à distance et Feuilles de TD

  • Notes des TD

  • Annales des examens

  • Quelques vidéos