Espaces de Hilbert et analyse de Fourier

Ce cours est divisé en deux parties :

- Dans la première on étudiera la géométrie des espaces de Hilbert, ceux qui généralisent à une dimension infinie le concept d'espace vectoriel avec produit scalaire de dimension finie (que, pour cette raison, sont souvent appelés des espaces pré-Hilbertiens). Après avoir analysé des nombreux exemples, on verra comme une base Hilbertienne (ou système orthonormée complet) permet de généraliser celui d'une base orthonormée de dimension finie. Comme exemple fondamentale de base Hilbertienne, on analysera la base de Fourier.

- Dans la deuxième partie on prendre connaissance avec la théorie des opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert et on va introduire leur théorie spectrale. On verra comme la dimension infinie rend l'analyse de ces opérateurs bien plus riche, mais aussi plus compliquée, par rapport à la dimension finie.