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L'objectif de ce cours est de mettre en application les techniques d'ingénierie mathématiques vues dans les autres cours. Des applications des différents domaines du parcours, probabilité et statistique, modélisation et calcul scientifique, recherche opérationnelle, traitement du signal et des images seront proposés. Un deuxième objectif consiste en la réalisation d'un travail, en groupe et en autonomie, de programmation en Python, C, Fortran 90, etc.

Enseignant: ArslanAyse Nur
Enseignant: BercuBernard
Enseignant: CoudièreYves
Enseignant: IolloAngelo
Enseignant: PesneauPierre
Enseignant: RichouAdrien
Enseignant: WeynansLisl

Espaces de Hilbert et analyse de Fourier

Ce cours est divisé en deux parties :

- Dans la première on étudiera la géométrie des espaces de Hilbert, ceux qui généralisent à une dimension infinie le concept d'espace vectoriel avec produit scalaire de dimension finie (que, pour cette raison, sont souvent appelés des espaces pré-Hilbertiens). Après avoir analysé des nombreux exemples, on verra comme une base Hilbertienne (ou système orthonormée complet) permet de généraliser celui d'une base orthonormée de dimension finie. Comme exemple fondamentale de base Hilbertienne, on analysera la base de Fourier.

- Dans la deuxième partie on prendre connaissance avec la théorie des opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert et on va introduire leur théorie spectrale. On verra comme la dimension infinie rend l'analyse de ces opérateurs bien plus riche, mais aussi plus compliquée, par rapport à la dimension finie.

Enseignant: BonnefontMichel
Enseignant: JamingPhilippe
Enseignant: PaicuMarius-Gheorghe
Enseignant: ProvenziEdoardo
Enseignant: ThieullenPhilippe

Introduction au traitement d'images

Le nom de ce cours pourrait être bien : "Introduction aux mathématiques basiques du traitement des signaux et des images". En fait, plutôt qu'entrer dans les détails du traitement d'images, ce qui est impossible à cause de la manque de temps, on va introduire et analyser deux outils mathématiques fondamentales pour le traitement des signaux et des images : la transformée de Fourier et les distributions.

La première partie du cours sera caractérisée par l'étude de transformée de Fourier discrète, qui est utilisée dans les applications numériques, et de son lien avec les filtres. Cela nous permettra de comprendre en profondeur et avec simplicité l'action des filtres en fréquence et leur relation avec l'opération fondamentale de convolution. Des séances de TP permettront de réaliser en pratique des filtres (notamment de lissage et de rehaussement de bords) sur des signaux sonores (1D) et sur des images (2D).

Dans la deuxième partie du cours on fera connaissance avec la série et la transformée de Fourier "continue", mais, pour manque de temps, les théorèmes relatifs à cette partie ne seront pas démontrés.

La deuxième partie du cours sera dédiée à la compréhension de la relation entre signaux analogiques et numériques et d'opérations comme le zoom et la rotation d'images. Ici on étudiera des résultats classiques comme l'effet de l'échantillonnage sur le spectre d'un signal, la formule de Poisson, le théorème de reconstruction de Shannon, l'aliasing et le principe d'incertitude de Heisenberg. Pour comprendre tous ces résultats on aura besoin d'introduire des outils mathématiques plus sophistiqués comme la série de Fourier, la transformée de Fourier "continue" et les distributions. Nous allons admettre la grande majorité des démonstrations mathématiques des théorèmes de cette deuxième partie, pour avoir le temps d'analyser leurs conséquences sur la théorie des signaux et des images.

Enseignant: ProvenziEdoardo

4TTI604U/Mathématiques pour l'enseignement

Ce guide accompagne l'enseignement du cours et des TD de l'UE Mathématiques pour l'Enseignement (UE optionnelle suivie par des étudiants du parcours Mathématiques Fondamentales ou du parcours Mathématiques et Informatique. On y trouvera les notes de cours au fil de leur rédaction (de semaine en semaine), les exercices proposés en TD et, une fois ces exercices traités, des éléments de correction. Les outils logiciels utilisés pour illustrer le cours (Sage, Geogebra, Scilab) y seront également téléchargeables au fil du cours.