Mathématiques

UE Arithmétique et Cryptologie 2022/2023 4TTI603U

S6 Licence math Parcours math info et math fonda

Cet espace Moodle est destiné aux étudiants fréquentant l'unité d'enseignement "AED" au niveau L2 et L3 

L'objectif de ce cours est de mettre en application les techniques d'ingénierie mathématiques vues dans les autres cours. Des applications des différents domaines du parcours, probabilité et statistique, modélisation et calcul scientifique, recherche opérationnelle, traitement du signal et des images seront proposés. Un deuxième objectif consiste en la réalisation d'un travail, en groupe et en autonomie, de programmation en Python, C, Fortran 90, etc.

Le nom de ce cours pourrait être bien : "Introduction aux mathématiques basiques du traitement des signaux et des images". En fait, plutôt qu'entrer dans les détails du traitement d'images, ce qui est impossible à cause de la manque de temps, on va introduire et analyser deux outils mathématiques fondamentales pour le traitement des signaux et des images : la transformée de Fourier et les distributions. 

La première partie du cours sera caractérisée par l'étude de transformée de Fourier discrète, qui est utilisée dans les applications numériques, et de son lien avec les filtres. Cela nous permettra de comprendre en profondeur et avec simplicité l'action des filtres en fréquence et leur relation avec l'opération fondamentale de convolution. Des séances de TP permettront de réaliser en pratique des filtres (notamment de lissage et de rehaussement de bords) sur des signaux sonores (1D) et sur des images (2D).

Dans la deuxième partie du cours on fera connaissance avec la série et la transformée de Fourier "continue", mais, pour manque de temps, les théorèmes relatifs à cette partie ne seront pas démontrés.

La deuxième partie du cours sera dédiée à la compréhension de la relation entre signaux analogiques et numériques et d'opérations comme le zoom et la rotation d'images. Ici on étudiera des résultats classiques comme l'effet de l'échantillonnage sur le spectre d'un signal, la formule de Poisson, le théorème de reconstruction de Shannon, l'aliasing et le principe d'incertitude de Heisenberg. Pour comprendre tous ces résultats on aura besoin d'introduire des outils mathématiques plus sophistiqués comme la série de Fourier, la transformée de Fourier "continue" et les distributions. Nous allons admettre la grande majorité des démonstrations mathématiques des théorèmes de cette deuxième partie, pour avoir le temps d'analyser leurs conséquences sur la théorie des signaux et des images.